3.1649 \(\int \frac{(b+2 c x) (d+e x)^{7/2}}{(a+b x+c x^2)^{5/2}} \, dx\)

Optimal. Leaf size=573 \[ -\frac{14 \sqrt{2} e \sqrt{-\frac{c \left (a+b x+c x^2\right )}{b^2-4 a c}} (2 c d-b e) \left (a e^2-b d e+c d^2\right ) \sqrt{\frac{c (d+e x)}{2 c d-e \left (\sqrt{b^2-4 a c}+b\right )}} \text{EllipticF}\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{b^2-4 a c}+b+2 c x}{\sqrt{b^2-4 a c}}}}{\sqrt{2}}\right ),-\frac{2 e \sqrt{b^2-4 a c}}{2 c d-e \left (\sqrt{b^2-4 a c}+b\right )}\right )}{3 c^2 \sqrt{b^2-4 a c} \sqrt{d+e x} \sqrt{a+b x+c x^2}}+\frac{14 \sqrt{2} e \sqrt{d+e x} \sqrt{-\frac{c \left (a+b x+c x^2\right )}{b^2-4 a c}} \left (-c e (3 a e+b d)+b^2 e^2+c^2 d^2\right ) E\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{\frac{b+2 c x+\sqrt{b^2-4 a c}}{\sqrt{b^2-4 a c}}}}{\sqrt{2}}\right )|-\frac{2 \sqrt{b^2-4 a c} e}{2 c d-\left (b+\sqrt{b^2-4 a c}\right ) e}\right )}{3 c^2 \sqrt{b^2-4 a c} \sqrt{a+b x+c x^2} \sqrt{\frac{c (d+e x)}{2 c d-e \left (\sqrt{b^2-4 a c}+b\right )}}}+\frac{14 e^2 \sqrt{d+e x} \sqrt{a+b x+c x^2} (2 c d-b e)}{3 c \left (b^2-4 a c\right )}-\frac{14 e (d+e x)^{3/2} (-2 a e+x (2 c d-b e)+b d)}{3 \left (b^2-4 a c\right ) \sqrt{a+b x+c x^2}}-\frac{2 (d+e x)^{7/2}}{3 \left (a+b x+c x^2\right )^{3/2}} \]

[Out]

(-2*(d + e*x)^(7/2))/(3*(a + b*x + c*x^2)^(3/2)) - (14*e*(d + e*x)^(3/2)*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x))/(3*(
b^2 - 4*a*c)*Sqrt[a + b*x + c*x^2]) + (14*e^2*(2*c*d - b*e)*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(3*c*(b^2 - 4
*a*c)) + (14*Sqrt[2]*e*(c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(b*d + 3*a*e))*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2
- 4*a*c))]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]]/Sqrt[2]], (-2*Sqrt[b^2 -
4*a*c]*e)/(2*c*d - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e)])/(3*c^2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*Sqrt[(c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + Sqrt
[b^2 - 4*a*c])*e)]*Sqrt[a + b*x + c*x^2]) - (14*Sqrt[2]*e*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*Sqrt[(c*(d + e
*x))/(2*c*d - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e)]*Sqrt[-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c))]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[(
b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]]/Sqrt[2]], (-2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*e)/(2*c*d - (b + Sqrt[b^2 -
4*a*c])*e)])/(3*c^2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.614833, antiderivative size = 573, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 8, number of rules used = 7, integrand size = 30, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.233, Rules used = {768, 738, 832, 843, 718, 424, 419} \[ -\frac{14 \sqrt{2} e \sqrt{-\frac{c \left (a+b x+c x^2\right )}{b^2-4 a c}} (2 c d-b e) \left (a e^2-b d e+c d^2\right ) \sqrt{\frac{c (d+e x)}{2 c d-e \left (\sqrt{b^2-4 a c}+b\right )}} F\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{\frac{b+2 c x+\sqrt{b^2-4 a c}}{\sqrt{b^2-4 a c}}}}{\sqrt{2}}\right )|-\frac{2 \sqrt{b^2-4 a c} e}{2 c d-\left (b+\sqrt{b^2-4 a c}\right ) e}\right )}{3 c^2 \sqrt{b^2-4 a c} \sqrt{d+e x} \sqrt{a+b x+c x^2}}+\frac{14 \sqrt{2} e \sqrt{d+e x} \sqrt{-\frac{c \left (a+b x+c x^2\right )}{b^2-4 a c}} \left (-c e (3 a e+b d)+b^2 e^2+c^2 d^2\right ) E\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{\frac{b+2 c x+\sqrt{b^2-4 a c}}{\sqrt{b^2-4 a c}}}}{\sqrt{2}}\right )|-\frac{2 \sqrt{b^2-4 a c} e}{2 c d-\left (b+\sqrt{b^2-4 a c}\right ) e}\right )}{3 c^2 \sqrt{b^2-4 a c} \sqrt{a+b x+c x^2} \sqrt{\frac{c (d+e x)}{2 c d-e \left (\sqrt{b^2-4 a c}+b\right )}}}+\frac{14 e^2 \sqrt{d+e x} \sqrt{a+b x+c x^2} (2 c d-b e)}{3 c \left (b^2-4 a c\right )}-\frac{14 e (d+e x)^{3/2} (-2 a e+x (2 c d-b e)+b d)}{3 \left (b^2-4 a c\right ) \sqrt{a+b x+c x^2}}-\frac{2 (d+e x)^{7/2}}{3 \left (a+b x+c x^2\right )^{3/2}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[((b + 2*c*x)*(d + e*x)^(7/2))/(a + b*x + c*x^2)^(5/2),x]

[Out]

(-2*(d + e*x)^(7/2))/(3*(a + b*x + c*x^2)^(3/2)) - (14*e*(d + e*x)^(3/2)*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x))/(3*(
b^2 - 4*a*c)*Sqrt[a + b*x + c*x^2]) + (14*e^2*(2*c*d - b*e)*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(3*c*(b^2 - 4
*a*c)) + (14*Sqrt[2]*e*(c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(b*d + 3*a*e))*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2
- 4*a*c))]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]]/Sqrt[2]], (-2*Sqrt[b^2 -
4*a*c]*e)/(2*c*d - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e)])/(3*c^2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*Sqrt[(c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + Sqrt
[b^2 - 4*a*c])*e)]*Sqrt[a + b*x + c*x^2]) - (14*Sqrt[2]*e*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*Sqrt[(c*(d + e
*x))/(2*c*d - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e)]*Sqrt[-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c))]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[(
b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]]/Sqrt[2]], (-2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*e)/(2*c*d - (b + Sqrt[b^2 -
4*a*c])*e)])/(3*c^2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])

Rule 768

Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Sim
p[(g*(d + e*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1))/(2*c*(p + 1)), x] - Dist[(e*g*m)/(2*c*(p + 1)), Int[(d + e*x)^(m -
1)*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && EqQ[2*c*f - b*g, 0] && LtQ[p, -1]
&& GtQ[m, 0]

Rule 738

Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[((d + e*x)^(m - 1)*(
d*b - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1))/((p + 1)*(b^2 - 4*a*c)), x] + Dist[1/((p + 1)*(b^2 -
4*a*c)), Int[(d + e*x)^(m - 2)*Simp[e*(2*a*e*(m - 1) + b*d*(2*p - m + 4)) - 2*c*d^2*(2*p + 3) + e*(b*e - 2*d*
c)*(m + 2*p + 2)*x, x]*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] &
& NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && NeQ[2*c*d - b*e, 0] && LtQ[p, -1] && GtQ[m, 1] && IntQuadraticQ[a, b, c, d,
e, m, p, x]

Rule 832

Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Sim
p[(g*(d + e*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1))/(c*(m + 2*p + 2)), x] + Dist[1/(c*(m + 2*p + 2)), Int[(d + e*x)^(m
- 1)*(a + b*x + c*x^2)^p*Simp[m*(c*d*f - a*e*g) + d*(2*c*f - b*g)*(p + 1) + (m*(c*e*f + c*d*g - b*e*g) + e*(p
+ 1)*(2*c*f - b*g))*x, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, p}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 -
b*d*e + a*e^2, 0] && GtQ[m, 0] && NeQ[m + 2*p + 2, 0] && (IntegerQ[m] || IntegerQ[p] || IntegersQ[2*m, 2*p])
&&  !(IGtQ[m, 0] && EqQ[f, 0])

Rule 843

Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Dis
t[g/e, Int[(d + e*x)^(m + 1)*(a + b*x + c*x^2)^p, x], x] + Dist[(e*f - d*g)/e, Int[(d + e*x)^m*(a + b*x + c*x^
2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, p}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0]
&&  !IGtQ[m, 0]

Rule 718

Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)/Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Dist[(2*Rt[b^2 - 4*a*c, 2]
*(d + e*x)^m*Sqrt[-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c))])/(c*Sqrt[a + b*x + c*x^2]*((2*c*(d + e*x))/(2*c*d -
b*e - e*Rt[b^2 - 4*a*c, 2]))^m), Subst[Int[(1 + (2*e*Rt[b^2 - 4*a*c, 2]*x^2)/(2*c*d - b*e - e*Rt[b^2 - 4*a*c,
2]))^m/Sqrt[1 - x^2], x], x, Sqrt[(b + Rt[b^2 - 4*a*c, 2] + 2*c*x)/(2*Rt[b^2 - 4*a*c, 2])]], x] /; FreeQ[{a, b
, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && NeQ[2*c*d - b*e, 0] && EqQ[m^2, 1/4]

Rule 424

Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2]/Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[(Sqrt[a]*EllipticE[ArcSin[Rt[-(d/c)
, 2]*x], (b*c)/(a*d)])/(Sqrt[c]*Rt[-(d/c), 2]), x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NegQ[d/c] && GtQ[c, 0] && GtQ[
a, 0]

Rule 419

Int[1/(Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2]*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[(1*EllipticF[ArcSin[Rt[-(d/c),
2]*x], (b*c)/(a*d)])/(Sqrt[a]*Sqrt[c]*Rt[-(d/c), 2]), x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NegQ[d/c] && GtQ[c, 0] &
& GtQ[a, 0] &&  !(NegQ[b/a] && SimplerSqrtQ[-(b/a), -(d/c)])

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{(b+2 c x) (d+e x)^{7/2}}{\left (a+b x+c x^2\right )^{5/2}} \, dx &=-\frac{2 (d+e x)^{7/2}}{3 \left (a+b x+c x^2\right )^{3/2}}+\frac{1}{3} (7 e) \int \frac{(d+e x)^{5/2}}{\left (a+b x+c x^2\right )^{3/2}} \, dx\\ &=-\frac{2 (d+e x)^{7/2}}{3 \left (a+b x+c x^2\right )^{3/2}}-\frac{14 e (d+e x)^{3/2} (b d-2 a e+(2 c d-b e) x)}{3 \left (b^2-4 a c\right ) \sqrt{a+b x+c x^2}}-\frac{(14 e) \int \frac{\sqrt{d+e x} \left (-\frac{3}{2} e (b d-2 a e)-\frac{3}{2} e (2 c d-b e) x\right )}{\sqrt{a+b x+c x^2}} \, dx}{3 \left (b^2-4 a c\right )}\\ &=-\frac{2 (d+e x)^{7/2}}{3 \left (a+b x+c x^2\right )^{3/2}}-\frac{14 e (d+e x)^{3/2} (b d-2 a e+(2 c d-b e) x)}{3 \left (b^2-4 a c\right ) \sqrt{a+b x+c x^2}}+\frac{14 e^2 (2 c d-b e) \sqrt{d+e x} \sqrt{a+b x+c x^2}}{3 c \left (b^2-4 a c\right )}-\frac{(28 e) \int \frac{-\frac{3}{4} e \left (b c d^2+b^2 d e-8 a c d e+a b e^2\right )-\frac{3}{2} e \left (c^2 d^2+b^2 e^2-c e (b d+3 a e)\right ) x}{\sqrt{d+e x} \sqrt{a+b x+c x^2}} \, dx}{9 c \left (b^2-4 a c\right )}\\ &=-\frac{2 (d+e x)^{7/2}}{3 \left (a+b x+c x^2\right )^{3/2}}-\frac{14 e (d+e x)^{3/2} (b d-2 a e+(2 c d-b e) x)}{3 \left (b^2-4 a c\right ) \sqrt{a+b x+c x^2}}+\frac{14 e^2 (2 c d-b e) \sqrt{d+e x} \sqrt{a+b x+c x^2}}{3 c \left (b^2-4 a c\right )}-\frac{\left (7 e (2 c d-b e) \left (c d^2-b d e+a e^2\right )\right ) \int \frac{1}{\sqrt{d+e x} \sqrt{a+b x+c x^2}} \, dx}{3 c \left (b^2-4 a c\right )}+\frac{\left (14 e \left (c^2 d^2+b^2 e^2-c e (b d+3 a e)\right )\right ) \int \frac{\sqrt{d+e x}}{\sqrt{a+b x+c x^2}} \, dx}{3 c \left (b^2-4 a c\right )}\\ &=-\frac{2 (d+e x)^{7/2}}{3 \left (a+b x+c x^2\right )^{3/2}}-\frac{14 e (d+e x)^{3/2} (b d-2 a e+(2 c d-b e) x)}{3 \left (b^2-4 a c\right ) \sqrt{a+b x+c x^2}}+\frac{14 e^2 (2 c d-b e) \sqrt{d+e x} \sqrt{a+b x+c x^2}}{3 c \left (b^2-4 a c\right )}+\frac{\left (14 \sqrt{2} e \left (c^2 d^2+b^2 e^2-c e (b d+3 a e)\right ) \sqrt{d+e x} \sqrt{-\frac{c \left (a+b x+c x^2\right )}{b^2-4 a c}}\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\sqrt{1+\frac{2 \sqrt{b^2-4 a c} e x^2}{2 c d-b e-\sqrt{b^2-4 a c} e}}}{\sqrt{1-x^2}} \, dx,x,\frac{\sqrt{\frac{b+\sqrt{b^2-4 a c}+2 c x}{\sqrt{b^2-4 a c}}}}{\sqrt{2}}\right )}{3 c^2 \sqrt{b^2-4 a c} \sqrt{\frac{c (d+e x)}{2 c d-b e-\sqrt{b^2-4 a c} e}} \sqrt{a+b x+c x^2}}-\frac{\left (14 \sqrt{2} e (2 c d-b e) \left (c d^2-b d e+a e^2\right ) \sqrt{\frac{c (d+e x)}{2 c d-b e-\sqrt{b^2-4 a c} e}} \sqrt{-\frac{c \left (a+b x+c x^2\right )}{b^2-4 a c}}\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2} \sqrt{1+\frac{2 \sqrt{b^2-4 a c} e x^2}{2 c d-b e-\sqrt{b^2-4 a c} e}}} \, dx,x,\frac{\sqrt{\frac{b+\sqrt{b^2-4 a c}+2 c x}{\sqrt{b^2-4 a c}}}}{\sqrt{2}}\right )}{3 c^2 \sqrt{b^2-4 a c} \sqrt{d+e x} \sqrt{a+b x+c x^2}}\\ &=-\frac{2 (d+e x)^{7/2}}{3 \left (a+b x+c x^2\right )^{3/2}}-\frac{14 e (d+e x)^{3/2} (b d-2 a e+(2 c d-b e) x)}{3 \left (b^2-4 a c\right ) \sqrt{a+b x+c x^2}}+\frac{14 e^2 (2 c d-b e) \sqrt{d+e x} \sqrt{a+b x+c x^2}}{3 c \left (b^2-4 a c\right )}+\frac{14 \sqrt{2} e \left (c^2 d^2+b^2 e^2-c e (b d+3 a e)\right ) \sqrt{d+e x} \sqrt{-\frac{c \left (a+b x+c x^2\right )}{b^2-4 a c}} E\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{\frac{b+\sqrt{b^2-4 a c}+2 c x}{\sqrt{b^2-4 a c}}}}{\sqrt{2}}\right )|-\frac{2 \sqrt{b^2-4 a c} e}{2 c d-\left (b+\sqrt{b^2-4 a c}\right ) e}\right )}{3 c^2 \sqrt{b^2-4 a c} \sqrt{\frac{c (d+e x)}{2 c d-\left (b+\sqrt{b^2-4 a c}\right ) e}} \sqrt{a+b x+c x^2}}-\frac{14 \sqrt{2} e (2 c d-b e) \left (c d^2-b d e+a e^2\right ) \sqrt{\frac{c (d+e x)}{2 c d-\left (b+\sqrt{b^2-4 a c}\right ) e}} \sqrt{-\frac{c \left (a+b x+c x^2\right )}{b^2-4 a c}} F\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{\frac{b+\sqrt{b^2-4 a c}+2 c x}{\sqrt{b^2-4 a c}}}}{\sqrt{2}}\right )|-\frac{2 \sqrt{b^2-4 a c} e}{2 c d-\left (b+\sqrt{b^2-4 a c}\right ) e}\right )}{3 c^2 \sqrt{b^2-4 a c} \sqrt{d+e x} \sqrt{a+b x+c x^2}}\\ \end{align*}

Mathematica [C]  time = 13.8047, size = 3578, normalized size = 6.24 \[ \text{Result too large to show} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[((b + 2*c*x)*(d + e*x)^(7/2))/(a + b*x + c*x^2)^(5/2),x]

[Out]

(Sqrt[d + e*x]*(a + b*x + c*x^2)^3*((-2*(c^2*d^3 - 3*a*c*d*e^2 + a*b*e^3 + 3*c^2*d^2*e*x - 3*b*c*d*e^2*x + b^2
*e^3*x - a*c*e^3*x))/(3*c^2*(a + b*x + c*x^2)^2) + (2*(7*b*c^2*d^2*e + 3*b^2*c*d*e^2 - 40*a*c^2*d*e^2 - b^3*e^
3 + 11*a*b*c*e^3 + 14*c^3*d^2*e*x - 14*b*c^2*d*e^2*x + 8*b^2*c*e^3*x - 18*a*c^2*e^3*x))/(3*c^2*(-b^2 + 4*a*c)*
(a + b*x + c*x^2))))/(a + x*(b + c*x))^(5/2) - (14*(a + b*x + c*x^2)^(5/2)*((2*(c^2*d^2 - b*c*d*e + b^2*e^2 -
3*a*c*e^2)*(d + e*x)^(3/2)*(c + (c*d^2)/(d + e*x)^2 - (b*d*e)/(d + e*x)^2 + (a*e^2)/(d + e*x)^2 - (2*c*d)/(d +
e*x) + (b*e)/(d + e*x)))/(c*Sqrt[((d + e*x)^2*(c*(-1 + d/(d + e*x))^2 + (e*(b - (b*d)/(d + e*x) + (a*e)/(d +
e*x)))/(d + e*x)))/e^2]) - ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)*Sqrt[c + (c*d^2)/(d + e*x)^2 - (b*d*e)/(d + e*x)
^2 + (a*e^2)/(d + e*x)^2 - (2*c*d)/(d + e*x) + (b*e)/(d + e*x)]*((I*c^2*d^2*(2*c*d - b*e + Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*
c*e^2])*Sqrt[1 - (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))/((2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])*(d + e*x))]*Sqrt[1 - (
2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))/((2*c*d - b*e + Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])*(d + e*x))]*(EllipticE[I*ArcSinh[(Sqrt[2
]*Sqrt[-((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)/(2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2]))])/Sqrt[d + e*x]], (2*c*d - b*e - S
qrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])/(2*c*d - b*e + Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])] - EllipticF[I*ArcSinh[(Sqrt[2]*Sqrt[-((c*
d^2 - b*d*e + a*e^2)/(2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2]))])/Sqrt[d + e*x]], (2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2
- 4*a*c*e^2])/(2*c*d - b*e + Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])]))/(Sqrt[2]*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*Sqrt[-((c*d^2 - b*
d*e + a*e^2)/(2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2]))]*Sqrt[c + (c*d^2 - b*d*e + a*e^2)/(d + e*x)^2 + (-2*c*
d + b*e)/(d + e*x)]) - (I*b*c*d*e*(2*c*d - b*e + Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])*Sqrt[1 - (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2
))/((2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])*(d + e*x))]*Sqrt[1 - (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))/((2*c*d - b*e +
Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])*(d + e*x))]*(EllipticE[I*ArcSinh[(Sqrt[2]*Sqrt[-((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)/(2*c*d -
b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2]))])/Sqrt[d + e*x]], (2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])/(2*c*d - b*e + S
qrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])] - EllipticF[I*ArcSinh[(Sqrt[2]*Sqrt[-((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)/(2*c*d - b*e - Sqrt[b
^2*e^2 - 4*a*c*e^2]))])/Sqrt[d + e*x]], (2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])/(2*c*d - b*e + Sqrt[b^2*e^2
- 4*a*c*e^2])]))/(Sqrt[2]*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*Sqrt[-((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)/(2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 -
4*a*c*e^2]))]*Sqrt[c + (c*d^2 - b*d*e + a*e^2)/(d + e*x)^2 + (-2*c*d + b*e)/(d + e*x)]) + (I*b^2*e^2*(2*c*d -
b*e + Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])*Sqrt[1 - (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))/((2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^
2])*(d + e*x))]*Sqrt[1 - (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))/((2*c*d - b*e + Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])*(d + e*x))]*(E
llipticE[I*ArcSinh[(Sqrt[2]*Sqrt[-((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)/(2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2]))])/Sqrt[d
+ e*x]], (2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])/(2*c*d - b*e + Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])] - EllipticF[I*A
rcSinh[(Sqrt[2]*Sqrt[-((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)/(2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2]))])/Sqrt[d + e*x]], (2
*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])/(2*c*d - b*e + Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])]))/(Sqrt[2]*(c*d^2 - b*d*e +
a*e^2)*Sqrt[-((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)/(2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2]))]*Sqrt[c + (c*d^2 - b*d*e + a
*e^2)/(d + e*x)^2 + (-2*c*d + b*e)/(d + e*x)]) - ((3*I)*a*c*e^2*(2*c*d - b*e + Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])*Sqrt
[1 - (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))/((2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])*(d + e*x))]*Sqrt[1 - (2*(c*d^2 - b
*d*e + a*e^2))/((2*c*d - b*e + Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])*(d + e*x))]*(EllipticE[I*ArcSinh[(Sqrt[2]*Sqrt[-((c*
d^2 - b*d*e + a*e^2)/(2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2]))])/Sqrt[d + e*x]], (2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2
- 4*a*c*e^2])/(2*c*d - b*e + Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])] - EllipticF[I*ArcSinh[(Sqrt[2]*Sqrt[-((c*d^2 - b*d*e
+ a*e^2)/(2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2]))])/Sqrt[d + e*x]], (2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2]
)/(2*c*d - b*e + Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])]))/(Sqrt[2]*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*Sqrt[-((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)
/(2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2]))]*Sqrt[c + (c*d^2 - b*d*e + a*e^2)/(d + e*x)^2 + (-2*c*d + b*e)/(d
+ e*x)]) + (I*Sqrt[2]*c^2*d*Sqrt[1 - (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))/((2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])*(d
+ e*x))]*Sqrt[1 - (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))/((2*c*d - b*e + Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])*(d + e*x))]*Elliptic
F[I*ArcSinh[(Sqrt[2]*Sqrt[-((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)/(2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2]))])/Sqrt[d + e*x]
], (2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])/(2*c*d - b*e + Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])])/(Sqrt[-((c*d^2 - b*d*
e + a*e^2)/(2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2]))]*Sqrt[c + (c*d^2 - b*d*e + a*e^2)/(d + e*x)^2 + (-2*c*d
+ b*e)/(d + e*x)]) - (I*b*c*e*Sqrt[1 - (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))/((2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])*
(d + e*x))]*Sqrt[1 - (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))/((2*c*d - b*e + Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])*(d + e*x))]*Ellipt
icF[I*ArcSinh[(Sqrt[2]*Sqrt[-((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)/(2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2]))])/Sqrt[d + e*
x]], (2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])/(2*c*d - b*e + Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])])/(Sqrt[2]*Sqrt[-((c*
d^2 - b*d*e + a*e^2)/(2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2]))]*Sqrt[c + (c*d^2 - b*d*e + a*e^2)/(d + e*x)^2
+ (-2*c*d + b*e)/(d + e*x)])))/(c*Sqrt[((d + e*x)^2*(c*(-1 + d/(d + e*x))^2 + (e*(b - (b*d)/(d + e*x) + (a*e)/
(d + e*x)))/(d + e*x)))/e^2])))/(3*c*(-b^2 + 4*a*c)*(a + x*(b + c*x))^(5/2))

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.139, size = 12975, normalized size = 22.6 \begin{align*} \text{output too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((2*c*x+b)*(e*x+d)^(7/2)/(c*x^2+b*x+a)^(5/2),x)

[Out]

result too large to display

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{{\left (2 \, c x + b\right )}{\left (e x + d\right )}^{\frac{7}{2}}}{{\left (c x^{2} + b x + a\right )}^{\frac{5}{2}}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((2*c*x+b)*(e*x+d)^(7/2)/(c*x^2+b*x+a)^(5/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((2*c*x + b)*(e*x + d)^(7/2)/(c*x^2 + b*x + a)^(5/2), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*}{\rm integral}\left (\frac{{\left (2 \, c e^{3} x^{4} + b d^{3} +{\left (6 \, c d e^{2} + b e^{3}\right )} x^{3} + 3 \,{\left (2 \, c d^{2} e + b d e^{2}\right )} x^{2} +{\left (2 \, c d^{3} + 3 \, b d^{2} e\right )} x\right )} \sqrt{c x^{2} + b x + a} \sqrt{e x + d}}{c^{3} x^{6} + 3 \, b c^{2} x^{5} + 3 \,{\left (b^{2} c + a c^{2}\right )} x^{4} + 3 \, a^{2} b x +{\left (b^{3} + 6 \, a b c\right )} x^{3} + a^{3} + 3 \,{\left (a b^{2} + a^{2} c\right )} x^{2}}, x\right ) \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((2*c*x+b)*(e*x+d)^(7/2)/(c*x^2+b*x+a)^(5/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

integral((2*c*e^3*x^4 + b*d^3 + (6*c*d*e^2 + b*e^3)*x^3 + 3*(2*c*d^2*e + b*d*e^2)*x^2 + (2*c*d^3 + 3*b*d^2*e)*
x)*sqrt(c*x^2 + b*x + a)*sqrt(e*x + d)/(c^3*x^6 + 3*b*c^2*x^5 + 3*(b^2*c + a*c^2)*x^4 + 3*a^2*b*x + (b^3 + 6*a
*b*c)*x^3 + a^3 + 3*(a*b^2 + a^2*c)*x^2), x)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((2*c*x+b)*(e*x+d)**(7/2)/(c*x**2+b*x+a)**(5/2),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((2*c*x+b)*(e*x+d)^(7/2)/(c*x^2+b*x+a)^(5/2),x, algorithm="giac")

[Out]

Timed out